Question

In figura 2 este reprezentat triunghiul dreptunghic ABC, unghiul A = 90°, iar D apartine BC este mijlocul laturii BC. Prin punctul B se construieste paralela BE la AD, E apartine AC.

a) Aratati ca 2 × AD = BE
b) Aratati ca triunghiul BEC este isoscel.
c) Daca AB ∩ DE = {G}, atunci aratati ca 3 × G = AB.

(Vreau ipoteza, concluzia + demonstratia) ​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Ip: ΔABC, ∡A=90°, D mijlocul [BC], BE║AD, E∈AC.

a) Concluzie: 2·AD=BE.

Demonstrație. Dacă AD║BE, după Thales, ⇒CD/DB=CA/AE, dar CD=DB, ⇒ CD/DB=1, ⇒CA/AE=1, deci CA=AE, ⇒ A este mijlocul [CE]. Atunci AD este linie medie în ΔBEC, ⇒2·AD=BE.

b) Concluzie: ΔBEC este isoscel.

Demonstrație. AD este mediană în ΔABC, dreptunghic, deci AD=BD=CD, ⇒AD=(1/2)·BC, dar AD=(1/2)·BE, ⇒BC=BE, deci ΔBEC este isoscel cu baza CE.

c) La Ipoteză se adaugă, AB ∩ DE = {G}.

Concluzie: 3·AG=AB.

Demonstrație. În ΔBEC, ED și BA sunt mediane, deci G este centrul de greutate. Atunci

$\dfrac{BG}{GA}=\dfrac{2}{1}~=>~\dfrac{BG+GA}{GA}=\dfrac{2+1}{1}~=>~\dfrac{AB}{AG}=\dfrac{3}{1}~=>~3*AG=AB.$