Question

În figura 3 sunt reprezentate patru puncte necoplanare A,B,C,D,E astfel încât AB=AC=AD=12 cm,m( a)Arătați că BD=12√3cm
b)Demonstrați că AO perpendicular (BCD),unde O este mijlocul segmentului BD.

Answer 1

a)m∡BAD=120°, ΔBAD isoscel, fie AO mediana, AO inaltime si bisectoare, AO⊥BD si mas∡ABO=90°-120°/2=30°⇒AO=12/2=6 si BO =6√3⇒BD=12√3

b)m∡BAC=60°, ΔBACisoscel deciΔBAC echilateral, BC=12
m∡CAD=90°ΔCAD dreptunghic isoscel⇒CD=12√2
BD=12√3
 se observa ca BD²=BC²+CD²⇒RecTeo PitagoraΔBCD dtreptunghic in C


c) din a) AO⊥BD (1)
fie M∈DC, DM=MC⇒OM mediana in tr isoscel COD, OM inaltime, OM⊥DC, DC⊥OM (2)
AM mediana in tr isoscel CAD, AM inaltime AM⊥DC,. DC⊥AM (3)

din (2) si (3), ⇒DC⊥(AOM)⇒DC⊥AO⊂(AOM), AO⊥DC (4)


deci AO⊥BD (1)
si AO⊥DC (4)
atunci din (1) si (4)⇒AO⊥(BCD)