Question

În figura alăturată, cercurile de centre O şi respectiv Q sunt tangente interior în punctul A. Dacă punctul B este diametral opus punctului A, AC/AB=3/8, iar OQ = 5 cm, atunci suprafața cuprinsă între cele două cercuri este egală cu:
a) 55pi cm² b) 73pi cm² c) 45pi cm² d) 65pi cm²
Vă rog mult! Mulțumesc!​

Answer 1

Răspuns:

a) 55π cm²

Explicație pas cu pas:

AQ = QC = r => AC = 2r

AO = OB = R => AB = 2R

$\frac{AC}{AB} = \frac{3}{8} \iff \frac{2r}{2R} = \frac{3}{8} \\ \implies 8r = 3R \\ OQ = R - r \implies R - r = 5 \\ R = r + 5$

înlocuim:

8r = 3(r + 5) <=> 8r = 3r + 15

5r = 15 => r = 3 cm

R = 3+5 => R = 8 cm

suprafața cuprinsă între cele două cercuri este reprezentatăde diferența dintre ariile celor două cercuri:

πR² - πr² = π(8²-3²) = π(64-9) = 55π cm²

Answer 2

Notăm raza cercului mic cu r și raza cercului mare cu R.

$\it 5=OQ=AO-AQ=R-r \Rightarrow R-r=5\ \ \ \ \ (1)\\ \\ \dfrac{3}{8}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{2r}{2R}=\dfrac{r}{R} \Rightarrow \dfrac{r}{R}=\dfrac{3}{8} \Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow\dfrac{r}{R-r}=\dfrac{3}{8-3}\ \stackrel{(1)}{\Longrightarrow}\ \dfrac{r}{5}=\dfrac{3}{5} \Rightarrow r=3cm\ \ \ \ \ (2)\\ \\ \\ (1),\ (2) \Rightarrow R-3=5 \Rightarrow R=8cm$

Suprafața cuprinsă între cele două cercuri este egală cu diferența dintre suprafața cercului mare și suprafața cercului mic.

$\it \mathcal{A}=\pi R^2-\pi r^2=\pi(R^2-r^2)=\pi(8^2-3^2)=\pi(64-9)=55\pi\ cm^2$