Question

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, cu AB = 12 cm,
BC= 16 cm, KABC = 60° şi AD L BC, DE BC. Punctele E, F, G
sunt mijloacele laturilor BC, AC, respectiv AB.
a) Demonstrează că patrulaterul DEFG este trapez isoscel.
b) Calculează aria trapezului isoscel DEFG.

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

în ΔBAD: ∢BAD = 90° - ∢ABD = 90° - 60° = 30° => BD este cateta opusă unghiului de 30°

=> BD = ½×AB = ½×12 = 6 cm

G este mijlocul laturii AB => BG = ½×AB = 6 cm

în ΔGBD: BD = BG = 6 cm și ∢GBD = 60° => ΔGBD este echilateral => ∢GDB = 60°

F este mijlocul laturii AC => GF este linie mijlocie => GF || BC

∢FGD = ∢GDB = 60° (alterne interne)

E este mijlocul laturii BC => FE este linie mijlocie => FE || AB => ∢FEC = 60° (unghiuri corespondente)

∢FEC = ∢GFE = 60°

=> ∢FGD ≡ ∢GFE și GF || DE => DEFG este trapez isoscel

b)

GF = ½×BC = ½×16 = 8 cm

E este mijlocul laturii BC => EC = ½×BC = 8 cm

DE = BC - (BD+EC) = 16 - (6+8) = 2 => DE = 2 cm

ducem GN⊥BC => GN este înălțime în ΔGBD echilateral

$GN = \dfrac{BG \sqrt{3} }{2} = \dfrac{6 \sqrt{3} }{2} = 3 \sqrt{3} \ cm$

GN este înălțime în trapez

$\mathcal{A}_{DEFG} = \dfrac{(GF + DE) \cdot GN}{2} = \dfrac{(8 + 2) \cdot 3 \sqrt{3} }{2} = \bf 15 \sqrt{3} \ {cm}^{2}$