Question

in figura alaturata este reprezentat un patrat abcd cu ab=10.Punctele M,N,P,Q sunt situate pe laturile AB,BC,CD si respectiv AD astfel incat AM=BN=CP=QD=2cm. a)Demonstreaza ca patrulaterul MNPQ este patrat b) Demonstreaza ca segmente;e MP si AC au acelasi mijloc

Answer 1

Răspuns:

a)

se formeaza 4 triunghiuri dreptunghice; demonstram ca sunt congruente

AM ≡ BN ≡ PC ≡ QD =2

BM ≡ CN ≡ DP ≡ QA = 8

∡QAM ≡ ∡MBN ≡ ∡NCP ≡ ∡PDQ = 90°

⇒ ΔMBN ≡ ΔNCP ≡ ΔPDQ ≡ ΔQAM

⇒ ∡AMQ ≡ ∡BNM ≡ ∡CPN ≡ ∡DQP

si ∡AQM ≡ ∡BMN ≡ ∡CNP ≡ ∡DPQ

cum ∡AMQ + ∡AQM = 90°  ⇒  ∡AMQ + ∡BMN = 90°

⇒ ∡QMN = 180° - 90°

similar,  ∡MNP = 90°,  ∡NPQ = 90° si  ∡PQM = 90°

⇒ MNPQ dreptunghi

cum din congruenta celor 4 triunghiuri ⇒ MN ≡ NP ≡ QP ≡ QM

⇒ MNPQ patrat

b)

demonstram congruenta celor doua triunghiuri formate intre diagonale

AM ≡ PC

∡MAO ≡ ∡PCO (alterne interne)

∡AMO ≡ ∡CPO (alterne interne)

⇒ (cazul ULU)  ΔAMO ≡ ΔCPO

⇒ MO ≡ PO  si  AO ≡ CO

adica, cele doua diagonale MP si AC se intersecteaza in mijlocul lor

Explicație pas cu pas: