Question

In figura alaturata,se da paralelogramul ABCD cu AB=6 cm si AD = 2 pe 3 din CD.Pe laturile AB si CD se considera punctele M si respectiv N astfel incat CN≡ AM,punctul P este simetricul lui B fata de N si Q este simetricul lui D fata de M.
a) Artati ca perimetrul lui ABCD este egal decat 20 de cm.
b)Demonstrati ca punctele P ,Q si mijlocul segmentului MN sunt coliniare.

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas: a) Perimetrul lui ABCD este suma laturilor. Avem: AB+BC+CD+DA. Dar  fiind paralelogram avem AB≡DC. Putem scrie P ABCD = 2*AB + 2*AD. Însă știm că AD =$\frac{2}{3}$CD, dar CD≡AB, AB=6cm, deci AD=4cm și perimetru P=2AB+2AD, P=2*6cm+2*4cm=20cm.

b)Dacă AM≡CN avem figura DMBN paralelogram. Pentru că BM║DN, DN≡BM. Simetricul față de N a punctului B se trasează în modul următor: se duce o dreaptă ce unește punctele B și N și se prelungește în partea lui N cu aceeași lungime, adică BN, iar acolo se poziționează puntul P care este simetricul lui B față de N. În mod asemănător se poziționează punctul Q, trasând o dreaptă între punctele D și M și prelungind dreapta în direcția lui M cu aceeași valoare DM. Observăm că am obținut o nouă figură geometrică, DQBP. Această figură are două laturi paralele, DQ║BP și, în același timp congruente (să ne aducem aminte că DMBN este paralelogram). Din această observație rezultă că figura DQBP este paralelogram. Diagonalele paralelogramului DMBN sunt concurente, intersecția lor fiind la mijlocul diagonalei MN sau BD.  Asemănător, diagonalele paralelogramului DQBP se intersectează, intersecția fiind la mijlocul diagonalei BD sau QP. Dar mijlocul diagonalei BD coincide cu mijlocul diagonalei MN. De unde rezultă că  punctele Q, P și mijlocul lui MN sunt coliniare.