Question

In paralelogramul ABCD construim inaltimile AE, E e BC si AF, F e CD. Aflati aria daca: a) BC=8cm si AE=11cm
b)AB=12cm si AF=7 cm. Multumesc anticipat.

Answer 1

Ducem diagonala AC a paralelogramului. se formeaza triunghiurile ACD si ABC care au urmatoarele proprietati
AD=BC(dreptele opuse sunt egale in paralelogram)
CD=AB(la fel ca mai sus)
$\angle{ABC}=\angle{ADC}$ unghiurile opuse sunt egale
Din cele trei relatii, observam ca avem un caz de congruenta de triunghiuri LUL(latura unghi latura)
In acest caz, triunghiurile ABD si BCD sunt congruente, inseamna ca si ariile lor sunt egale
$A_{ABC}=A_{ACD}$
Dar observam ca aceste doua triunghiuri formeaza si intreg paralelogramul. Atunci
$A_{ABCD}=A_{ABC}+A_{ACD}=2A_{ABC}=2A_{ACD}$
Atunci avem
a) AE este inaltime in triunghiului ABC, perpendicular pe baza BC
$A_{ABC}=\frac{AE*BC}{2}$
Atunci
$A_{ABCD}=2A_{ABC}=2*\frac{AE*BC}{2}=AE*BC=11*8=88cm^{2}$
b) AF este inaltime in triunghiul ACD, pe baza CD. Atunci
$A_{ACD}=\frac{AF*CD}{2}=\frac{AF*AB}{2}$
atunci
$A_{ABCD}=2A_{ACD}=2*\frac{AF*AB}{2}=AF*AB=12*7=84cm^{2}$