Question

In paralelogramul ABCD, m(∠A)=30°, AB=12cm, AD=6√3cm si BD⊥BC.
a) Calculati aria paralelogramului ABCD.
b) Daca M este simetricul punctului D fata de A si AB∩MC={O}, sa se arate ca MO≡CO.

Answer 1

$A_{paralelogram}=\h*baza$ In cazul tau, BD este perpendiculara pe BC,BC ||AD, atunci BD perpendiculara si pe AD, de unde rezulta ca BAD este un triunghi dreptunghic cu $BDA=90$ are catetele BD,AD si ipotenuza AB. De aici rezulta clar ca BD este si inaltimea paralelogramului, din moment ce e perpendiculara pe o baza.
Asa ca putem afla pe BD folosind relatia $\sin=\frac{cateta opusa}{ipotenuza}$ In cazul triunghiului nostru $\sin{BAD}=\frac{BD}{AB}=\sin{30}=\frac{1}{2}\Rightarrow BD=\frac{AD}{2}=\frac{12}{2}=6$

Atunci folosindu-ne de formula, ariei avem
$A_{ABCD}=BD*AD=6*6\sqrt{3}=36\sqrt{3}$
b) Daca punctul M este simetricul lui D fata de A, rezulta ca AM este coliniara cu AD. Daca sunt pe aceeasi dreapta, stiind ca AD||BC, atunci si AM||BC. Mai mult. fiind simetricul lui D fata de A, atunci AM=AD. Dar de asemenea, BC=AD. Deci rezulta ca:
1) AM||BC
2) AM=BC
Cele doua conditii sunt suficiente pentru a arata ca patrulaterul AMBC este un paralelogram. In acest paralelogram: MC, AB sunt diagonale, care se intalnesc in punctul O. Noi stim ca in paralelogram diagonalele se injumatatesc la punctul de intersectie, atunci
MO=CO