Question

în paralelogramul ABCD notăm cu M mijlocul laturii [BC] și cu N mijlocul laturii [CD]. Dacă {P}= AM Π BD și {Q}= ANΠBD, calculaţi raportul A ΔAPQ/ A ABCD.
(idee: demonstraţi că intersecțiile P și Q sunt centre de greutate în ΔABC și ΔADC)
*Π = intersectat cu

Answer 1

Ducem diagonala [AC]; AC intersectat BD={O} .In ΔABC ; [AM] si [BO] sunt mediane⇒P este centrul de greutate al ΔABC⇒  OP=PB/2⇒    OP/PB=1/2  ⇒OP=1(una parte) si PB=2p(doua parti de acelasi fel) (1)⇒OB=3p.  
In ΔADC ; [AN] si [DO] sunt mediane ⇒Q este centrul de greutate al ΔADC  
⇒OQ=DQ/2⇒OQ/DQ=1/2⇒OQ=1p si DQ=2p;(2)⇒DO=3p. Din relatiile (1) si (2)⇒ DQ=QO+OP=PB⇒DQ=QP=PB. Deoarece ΔADQ, ΔAQP, ΔAPB au bazele egale(DQ=QP=PB) si inaltimile corespunzatoare laturilor DQ, QP respectiv PB identice, ele sunt triunghiuri echivalente⇒A ΔADQ=   A ΔAQP=A ΔAPB=(1/3)·A ΔADB⇒ A ΔAQP=(1/3)·A  ΔADB (3) .  Deoarece A ΔADB=(1/2)·A ABCD (4) . Din (3) si (4)⇒A ΔAQP =  (1/3)·(1/2)·A ABCD⇒A ΔAQP=(1/6)·A ABCD⇒A ΔAPQ/A ABCD=1/6