Question

In patratul ABCD, AB=6 cm, E este mijlocul CD, BE intersectat AC ={F} si FM||CD, M apartine BC. Aflati lungimea FM.

Prin centrul de greutate al triunghiului echilateral DEF se contruueste o paralela la latura EF, care intersecteaza laturile DE si DF in punctele T, respectiv S. Daca EF=15 cm, aflati perimetrul triunghiului DTS.

Macar una dintre ele, va rog!​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Ex1. În ΔBCE, FM║CE, ⇒ ΔBMF~ΔBCE, ⇒ BM/BC=MF/CE, ⇒ BC·MF=BM·CE (1)

In ΔABC, FM║AB, ⇒ΔFMC~ΔABC, ⇒FM/AB=MC/BC, ⇒FM·BC=AB·MC, (2)

Din (1) si (2), ⇒ BM·CE=AB·MC, ⇒ AB/CE=BM/MC, dar AB=2·CE, deci

2/1=BM/MC, ⇒(2+1)/1=(BM+MC)/MC, ⇒ 3/1=6/MC, ⇒MC=2cm.

Atunci  din FM/AB=MC/BC, ⇒ FM/6=2/6, ⇒FM=2cm

Ex2. EF=15, TS║EF, Din ⇒ΔTSD~ΔEFD, ⇒TS/EF=DG/DA=2/3, ⇒ TS/15=2/3, ⇒TS=10

Din DS/DF=TS/EF, ⇒DS/15=10/15, ⇒DS=10=DT, ⇒ΔDTS echilateral, atunci P(DTS)=3·10=30cm.

Answer 2

2) Fie DM - mediană și O - centrul de greutate pentru Δ DEF

$\it TS||EF\ \stackrel{T.f.a}{\Longrightarrow}\ \Delta D EF \sim \Delta DTS\ cu\ raportul\ de\ asem\breve{a}nare\ k=\dfrac{DM}{DO} =\dfrac{3}{2}$

Raportul perimetrelor celor două triunghiuri asemenea este egal cu

raportul de asemănare.

$\it \dfrac{\mathcal{P}_{D EF}}{\mathcal{P}_{DTS}} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \dfrac{3\cdot15}{\mathcal{P}_{DTS}} =\dfrac{3}{2} \Rightarrow \mathcal{P}_{DTS} =\dfrac{3\cdot15\cdot2}{3} =30\ cm$

1) CF - bisectoare pentru unghiul C.

Cu teorema bisectoarei,  în Δ BCE,  va rezulta:

$\it \dfrac{BF}{FE}= \dfrac{BC}{EC} = \dfrac{6}{3}=2\\ \\ \\ FM||EC \stackrel{T.Thales}{\Longrightarrow}\ \ \dfrac{BM}{MC} = \dfrac{BF}{FE} =2 \Rightarrow BM=2MC |_{+MC} \Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow BM+MC=2MC+MC \Rightarrow BC=3MC \Rightarrow 6=3MC \Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow MC = 2 cm\\ \\ \\ \Delta FMC-dreptunghic\ isoscel \Rightarrow FM=MC=2cm$