Question

IN PATRATUL ABCD CU AB=12 CM SE IA PUNCTUL N∈(AD) ASTFEL INCAT AN=8CM SI M MIJLOCUL LUI AB. CALCULATI
A) ARIA TRIUNGHIULUI MNC
B) DISTANTA DE LA C LA SEGMENTUL MN, STIIND CA MN=10 CM

Answer 1

A) In triunghiul AMN dreptunghic in A calculam ipotenuza MN cu Teorema lui Pitagora, stiind catetele AN=8 cm si AM=MB=AB/2=12/2=6 cm, deci:
$MN^{2} = AM^{2} + AN^{2}$
$MN^{2} = 6^{2} + 8^{2}$
$MN^{2} = 36 + 64$
$MN^{2} = 100$
MN=10 cm

In triunghiul NDC dreptunghic in D calculam ipotenuza NC cu Teorema lui Pitagora, stiind catetele DN=AD-AN=12-8=4 cm si DC=12 cm, deci:
$NC^{2} = DN^{2} + DC^{2}$
$NC^{2} = 4^{2} + 12^{2}$
$NC^{2} = 16 + 144$
$NC^{2} = 160$
NC=$4* \sqrt{10}$ cm

In triunghiul MBC dreptunghic in B calculam ipotenuza MC cu Teorema lui Pitagora, stiind catetele BC=12 cm si BM=6 cm, deci:
$MC^{2} = BM^{2} + BC^{2}$
$MC^{2} = 6^{2} + 12^{2}$
$MC^{2} = 36 + 144$
$MC^{2} = 180$
MC=$6* \sqrt{5}$ cm

Deci perimetrul triunghiului MNC este:
MN+NC+MC=10+$4* \sqrt{10}$ + $6* \sqrt{5}$ cm

B) Construim CC' perendiculara pe MN, cu C' apartine (MN) si notam cu h=(CC'), cu a=(NC') si cu b=(MC'). Deci:
a+b=10 cm           (rel 1)
si aplicam teorema lui Pitagora in Triunghiurile dreptunghice NCC', respectiv MCC':

$NC^{2} = CC'^{2} + NC'^{2}$
$160 = h^{2} + a^{2}$          (rel 2)

$MC^{2} = CC'^{2} + MC'^{2}$
$180 = h^{2} + b^{2}$          (rel 3)

Din (rel 1), (rel 2) si (rel 3) calculam valorile lui a, b si h astfel: Scadem (rel 2) din (rel 3):
$20 = b^{2} - a^{2} =(b-a)*(b+a)$ dar a+b=10 cm, deci:
20=(b-a)*10, de unde:
b-a=2
b=a+2 si inlocuim in (rel 1):
a+(a+2)=10
2*a+2=10
2*a=8
a=4 cm, deci, din (rel 2)
$160 = h^{2} + 4^{2}$
$160 = h^{2} + 16$
$144 = h^{2}$
h=12 cm (adica exact distanta de la C la MN)