Question

In patrulaterul ABCD luam punctul m apartinand AC si ducem MN || CD, (N apartine AD) si MP || BC, (P apartine AB).Demonstrati ca PN || BD

Answer 1

Ne uitam la triunghiul ACD
Stim ca MN||CD, atunci rezulta din teorema lui Thales ca punctele M si N impart laturile AC si AD in segmente de raport egal. Deci
$\frac{AM}{MC}=\frac{AN}{ND}$(1)
Ne uitam la triunghiul ABC
Stim ca MP||BC  atunci rezulta din teorema lui Thales ca punctele M si P impart laturile AC si AB in segmente de raport egal. Deci
$\frac{AM}{MC}=\frac{AP}{PB}$(2)
Din 1 si 2 rezulta ca
$\frac{AM}{MC}=\frac{AN}{ND}=\frac{AP}{PB}$
Ne uitam la triunghiul ABD Observam ca N si P impart laturile AD si AB ale triunghiului in segmente de raport egal. Rezulta atunci din teorema reciproca a lui Thales ca segmentul PN va fi paralel cu a treia latura a triunghiului, adica PN||BD