Question

In piramida triunghiulara regulata ABCD cu vârful in A se cunosc CD=16 cm,AC=8√2cm.Fie M si N mijl.segmentelor BC respectiv CD.
a) Aratati ca triunghiul ABC dreptunghic
b)m(<(AN;BD))
c) AC perpendicular pe BD (să arătați)
d) B' ,D' mijl AB si AD.Calculati Aria MND'B'

Answer 1

a)ABCD piram regulata⇒AB=BC=8√2
AB²+AC²=128+128=256
BC²=16²=256
AB²+BC²=BC²⇒(Rec.T.Pitagora)ΔABC dreptunghic in A , cerinta

b)cf pct a)CA⊥AB (1)
ABCD piram tr regulata⇒ΔCAD≡ΔCAB⇒m∡(CAD)=m∡(CAB)=90°⇔CA⊥AD(2)

din (1) si (2)⇒CA⊥(BAD)
BD⊂(BAD)⇒CA⊥BD, (3) cerinta

c) MN l.m.ΔCBD⇒MN=16/2=8 si MN||BD (4)

B'D'l.m.ΔABD⇒B'D'=16/2=8 sai B'D'|| BD (5)
din (4) si (5)⇒MNB'D" patryulater cu 2 laturi opuse || si congruente, MND'B' paralelogram (6)
MN||BD cf (4)
B'Ml.mΔABC, B'M||AC (7)
din (4) si (7)⇒m∡(B'm<MN)=m∡(AC,BD)=cf (3)=90° (8)

din (4) si (8)⇒MNB'D' paralelogram cu un unghi drept, MNB'D' dreptunghi⇒
 Arie MND'B'=MN * B'M= (16/2) * 8√2/2=8*4√2=32√2 cm², cerinta