Question

In piramida VABCD cu baza patratul ABCD notam cu M,N respectiv P centrele de greutate ale triunghiurilor VAB , VBC respectiv VCD 
a) Justificati ca MN || AC
b) Aratati ca (MNP) || (ABC)
c) Calculati $\frac{A[MNP]}{A[ABCD]}$
d) Daca inaltimea piramidei este VO=9 cm , calculati d((MNP) ; (ABC))

Answer 1

Desenul este in fisierul atasat.
VM', VN' si VP' sunt mediane in triunghiurile VAB, VBC, VCD, deci M, N si P se afla la o treime din VM', VN' si VP' de baza triunghiului corespunzator si la 2/3 de V (din proprietatile centrului de greutate).

a)  $\frac{VM}{VM'} = \frac{VN}{VN'} = \frac{2}{3}$, deci MN||M'N'    (1).
In triunghiul ABC, M'N' este linie mijlocie, deci M'N'||AC    (2)
Din relatiile (1) si (2) rezulta MN||AC.

b) Am aratat la punctul a) ca MN||M'N'    (3)
Analog se arata ca NP||N'P'    (4)

Deci avem doua drepte concurente din planul (MNP), respectiv paralele cu doua drepte concurente din planul (ABC), prin urmare cele doua plane sunt paralele  (pentru ca doua drepte concurente determina un plan, in cazul nostru chiar planele cautate).

c) ABCD patrat si notam AB=a, deci
$AC= a \sqrt{2}$ si $M'N'= \frac{AC}{2}$
M'N'=$\frac{ a \sqrt{2} }{2}$

Din MN||M'N' si din raportul de asemanare a triunghiurilor VMN si VM'N', rezulta ca
MN=$\frac{2}{3} *M'N'$=$\frac{2}{3} * \frac{ a \sqrt{2} }{2}$
MN=$\frac{ a \sqrt{2} }{3}$
Analog NP=$\frac{ a \sqrt{2} }{3}$, iar MP=$M'P'* \frac{2}{3}$=$a* \frac{2}{3}$

Observam ca $MN^{2} + NP^{2} = MP^{2}$ si, din Reciproca teoremei lui Pitagora, rezulta ca triunghiul MNP este dreptunghic in N, deci
A[MNP]=MN*NP/2=$\frac{ a \sqrt{2} }{3}$*$\frac{ a \sqrt{2} }{3}$*1/2=$\frac{ a^{2} }{9}$
A[ABCD]=$a^{2}$, deci
$\frac{A[MNP]}{A[ABCD]} = \frac{ a^{2} }{9} * \frac{1}{ a^{2} } = \frac{1}{9}$

d) Fie {Q}=VO intersectat cu MP.
M', O si P' sunt coliniare, deoarece OM'||BC si OP'||BC ca linii mijlocii in triunghiurile ABC, respectiv DBC. Cum printr-un punct (O) exterior unei drepte (BC) se poate duce o singura paralela, inseamna ca M', O si P' sunt pe aceeasi paralela la BC dusa prin centrul O al patratului ABCD.

Din MP||M'P' si din raportul de asemanare dat de centrele de greutate M si P, obtinem VQ/VO=2/3, adica VQ=9*2/3=6 cm.
Distanta de la (MNP) la (ABC) este data de diferenta VO-VQ=9-6=3 cm.