Question

In raport cu reperul cartezian xOy se considera punctele M(1,2) si N(3,0).Aflati coordonatele simtetricului punctului M fata de punctul M. 
Rezolvare completa,VA ROG!!!........

Answer 1

Desenează orientativ graficul funcţiei, ca să vezi unde sunt poziţionate punctele şi să-ţi faci o idee cam pe unde ar fi M', adică simetricul punctului M fată de N (uită-te în imaginea ataşată). 

Punctul M' se află undeva pe prelungirea dreptei MN, deci coordonatele simetricului rezolvă ecuaţia dreptei MN, pe care o să o aflăm.

Formula pentru ecuaţia dreptei, atunci când cunoşti coordonatele a doua puncte:

$\frac{ x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} = \frac{y-y_{1}}{ y_{2}-y_{1}}$

Deci ecuaţia dreptei MN este:

$\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{-2} <=> 3-x = y$

Din faptul că M' este simetric cu M, ştim că lungimea MN = NM'.

Formula pentru lungimea segmentului MN:

$\sqrt{(x2-x1)^{2}+(y2-y1)^2} = 2 \sqrt{2}$

Acum aflăm lungimea lui NM' în funcţie de coordonatele lui M':

[tex]M'(x_{m},y_{m}) \\ NM' = \sqrt{(x_{m}-3)^{2}+(y_{m}-0)^{2}} = MN = 2 \sqrt{2} \
 (ridicam \ la \ patrat) \\ (x_{m}-3)^{2}+(y_{m}-0)^{2} = 8 [/tex]

A doua ecuaţie pe care o folosim este cea a dreptei, pe care am aflat-o mai sus:

$3-x_{m} = y_{m} =>x_{m} = 3-y_{m}$

Înlocuim acest $x_{m}$ în ecuaţia de mai înainte:

[tex](x_{m}-3)^{2}+(y_{m}-0)^{2} = 8 \\ x_{m} = 3-y_{m} \\ => (3-y_{m}-3)^{2}+(y_{m}-0)^{2} = 8 \\ 2y_{m}^{2} = 8 => y_{m} = +2 \ sau -2[/tex]

Din grafic este evident că punctul M' trebuie să se afle în cadranul 4, unde $x_{m}$ este pozitiv şi $y_{m}$ este negativ, deci folosim valoarea $y_{m} = -2$.

Revenim iar la ecuaţia dreptei, de unde aflăm $x_{m}$:

$3-x_{m} = y_{m} = -2 => x_{m} = 5$

Deci simetricul lui M faţă de N are coordonatele $M'(5,-2)$ .