Question

In reperul cartezian xOy se considera punctele A(2,5) B(4,-3) și C(a,3+a) unde a este un număr real. Determinați numărul real a pentru care dreapta OC trece prin mijlocul segmentului AB.

Answer 1

Explicație pas cu pas:

A(2,5), B(4,-3) și C(a,3+a)

M, mijlocul segmentului AB:

$x_{M} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \\  y_{M} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1 \\ \implies M(3;1)$

ecuația dreptei care trece prin O și M:

$\frac{y - y_{M}}{y_{O} - y_{M}} = \frac{x - x_{M}}{x_{O} - x_{M}} \iff \frac{y - 1}{ - 1} = \frac{x - 3}{ - 3} \\ 3(y - 1) = x - 3 \\ 3y = x \implies y = \frac{x}{3}$

=>

$3 + a = \frac{a}{3} \iff 9 + 3a = a \\ 2a = - 9 \implies a = - \frac{9}{2} \\ a + 3 = - \frac{9}{2} + 3 = - \frac{3}{2} \\ \implies C\left( - \frac{9}{2}; - \frac{3}{2} \right)$