Question

in triunghiul ABC, AD este bisectoarea unghiului A, D apartine lui BC. se stie ca AB=12, AC=18, BC=15. calculati BD si raportul ariilor triunghiurilor ADB si ADC

Answer 1

In triunghiul ABC, cu bisectoarea AD, aplicam teorema bisectoarei : 
$\frac{BD}{DC}= \frac{AB}{AC},deci, \frac{BD}{DC+BD}= \frac{AB}{AC+AB}$ ( proportii derivate ),⇒ $\frac{BD}{15}= \frac{18}{30}$ ⇒BD=$\frac{18*15}{30}=9$, de unde DC=15-9=6. Ducem AM_I_BC (M∈BC), deci AM este inaltime, o notam cu h. Scriem ariile celor doua triunghiuri cu relatia baza inmultit cu inaltimea supra 2 :
$A_{ADB}= \frac{BD*h}{2}= \frac{9*h}{2},si.A_{ADC}= \frac{DC*h}{2}= \frac{6*h}{2},$, facem raportul ariilor, inmultim prima arie cu a doua rasturnata: $\frac{ A_{ADB} }{ A_{ADC} }= \frac{9*h}{2}* \frac{2}{6h}= \frac{3}{2}$