Question

În triunghiul ABC,ad si Be sunt mediane,unde d€(bc)si e€(ac).Știind ca ad este perpendicular pe Be si ad=18cm,iar Be=24cm si ca cb=24cm,calculati:
a)aria triunghiului ABG,unde ADreunit cu BE={G}
b)aria triunghiului abc
c) distanta de la punctul A la dreapta BC.

Answer 1

Intersectia tuturor medianelor unui triunghi se numeste centrul de greutate al triunghiului. Daca doua mediane AD si BE se intersecteaza in G, atunci si a treia mediana va trece tot prin G, si G este centrul de greutate al triunghiului.

Una din proprietatile centrului de greutate este ca e pozitionat la 2/3 din lungimea medianei fata de varf. Folosindu-ne de acest fapt, putem calcula AG si BG
$AG=\frac{2}{3}*AD=\frac{2}{3}*18=2*6=12$
$BG=\frac{2}{3}*BE=\frac{2}{3}*24=2*8=16$
a) AD este perpendicular pe BE si se intersecteaza in G, atunci triunghiul AGB este dreptunghic, cu catetele AG si BG. Stiind ca aria unui triunghi dreptunghic poate fi calculata cu formula:
$A_{dreptunghic}=\frac{cateta1*cateta2}{2}$
Atunci aria triunghiului AGB este
$A_{AGB}=\frac{AG*BG}{2}=\frac{12*16}{2}=12*8=96cm^{2}{$
b) Aria unui triunghi este egala cu inaltimea*baza/2, Daca ne uitam la triunghiul ABD, vedem ca avem deja o inaltime: BG perpendiculara pe baza AD. Asadar puteam calcula aria lui ABD
$A_{ABD}=\frac{BG*AD}{2}=\frac{16*18}{2}=8*18=144cm^{2}$
Mai stim ca o mediana imparte un triunghi in doua triunghiuri de arii egale. AD este mediana in triunghiul ABC, asadar
$A_{ABC}=A_{ABD}+A_{ACD}=2A_{ABD}=2*144=288cm^{2}$
c) sa zicem ca notam cu M intersectia dintre perpendiculara din A si dreapta BC. AM este inaltime in triunghiul ABC, deci putem aplica cealalta formula ca sa deducem valoarea inaltimei
$A_{ABC}=\frac{AM*BC}{2}\Rightarrow AM=\frac{2A_{ABC}}{BC}=\frac{2*288}{24}=24cm$