Question

În triunghiul ABC are loc relația sinA = 2sinBcosC. Arătați ca triunghiul ABC este isoscel.

Answer 1

   
[tex]\displaystyle \\ \text{Se da: } \\ \Delta ABC \\ \sin A=2\sin B \cos C \\ \\ \text{Se cere:}\\ \text{Sa se arate ca } ~\Delta ABC~\text{ este isoscel. } \\ \\ \text{Rezolvare:}\\\\ \text{Folosim formula:}\\\\ \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\\\\ \Longrightarrow~~\text{Egalitatea: }~\sin A=2\sin B\cos C ~~~~~\text{este adevarata doar daca:}\\\\ B=C=\alpha ~~~si~~~A=2\alpha\\\\ \alpha+\alpha+2\alpha=180^o\\ 4\alpha=180^o\\\\ \alpha = \frac{180}{4}=45^o [/tex]


[tex]\displaystyle \\ \ \textless \ A = 2\alpha = 2\times 45^o = \boxed{90^o} \\ \ \textless \ B = \ \textless \ C = \alpha = \boxed{45^o }\\ \\ \Longrightarrow~~\boxed{\text{Triunghiul ABC este triunghi dreptunghic isoscel.}}[/tex]

Answer 2

A=180°-(B+C), dezvoltand si egaland cu conditia data rezulta: sinB*cosC=sinC*cosB, impartind cu cosB*cosC rezulta egalitatea tangentelor, rezulta B=C solutie unica, tanenta fiind bijectiva in cadranul l.