Question

in triunghiul ABC cunoastem AB=2cm , AC=2radical3 cm ,BC=4cm
a)Aratati ca triunghiul ABC este dreptunghic
b)Calculati d(A,BC)
c)Calculati sin^2B+sin^2C
d)calculati lungimea segmentului BM, unde M este mijlocul segmentului AC

Answer 1

a) Verific dacă: BC²=AB²+AC²
(4 cm)²=(2 cm)²+(2√3 cm)²
16 cm²=4 cm²+2²*√3² cm²
16 cm²=4 cm²+12 cm²
16 cm²=16 cm² (verifică), din Reciproca Teoremei lui Pitagora=>ΔABC dreptunghic, m(∡A)=90°
b) Fie AD⊥BC, D∈(BC).
h=(c₁*c₂)/ip
AD=(AB*AC)/BC
AD=(2 cm*2√3 cm)/4 cm=√3 cm c) sin B=AD/AB=√3 cm/2 cm=√3/2 sin C=AD/AC=√3 cm/2√3 cm=1/2 (sin B)²+(sin C)²=(√3/2)²+(1/2)²=3/4+1/4=4/4=1 d) M∈(AC), AM=MC=AC/2=2√3 cm/2=√3 cm În ΔBAM, m(∡A)=90°, din Teorema lui Pitagora=> BM²=AB²+AM² BM²=(2 cm)²+(√3 cm)² BM²=4 cm²+3 cm² BM²=7 cm² BM=√7 cm

Answer 2

 a) Tripletul (x,  x√3,  2x) reprezintă lungimile laturilor unui triunghi
 
dreptunghic de forma (30°,  60°,  90°).

Deoarece lungimile laturilor triunghiului din enunț formează tripletul

(2,  2√3,  4) ⇒ triunghiul este dreptunghic în A și are m(∡C) = 30°.

b)  Construim triunghiul ABC determinat la subpunctul a), apoi

ducem înălțimea AD, cu D pe BC. 

Cu teorema unghiului de 30° în ΔDCA ⇒ AD=AC/2 =2√3/2 =√3 cm.

c) Unghiurile B și C sunt complementare ⇒ m(∡C) = 90° - m(∡B) ⇒

⇒ sinC = cosB ⇒ sin²C = cos²B

sin²B + sin²C = sin²B + cos²B = 1 (formula fundamentală a trigonometriei)

d)  Construim triunghiul ABC determinat la subpunctul a), apoi

ducem mediana BM, cu M pe AC ⇒ AM = AC/2 = 2√3/2= √3 cm

Cu teorema lui Pitagora în triunghiul ABM  ⇒ BM = √7 cm