Question

In triunghiul ABC, fie M mijlocul lui BC .Paralela prin B la AM intersecteaza pe AC in E .Fie N simetricul lui A fata de M.Aratati ca :a) Aratati ca AB paralela cu CN
b) Demonstrat ca AEBN este paralelogram
c) Daca triunghiul ABC este isoscel aratati ca AC=CN

Answer 1

a)
triunghiurile AMB si CMN sunt congruente (LUL)
BM=MC (M e mijlocul lui BC)
∡AMB=∡CMN opuse la varf
AM=MN (N e simericul lui A fata de M)
din congruenta rezulta:
∡BAM=∡CNM rezulta ca AB║CN (avem unghiuri alterne interne congruente)
b)
in triunghiul EBC, AM este linie mijlocie pentru ca AM║BE si BM=MC.
prin urmare
BE║AM si BE=2AM
pe de alta parte AN║BE si AN=2AM

din ultimele 2 relatii deducem ca patrulaterul AEBN este paralelogram deoarece are 2 laturi opuse paralele si egale. (BE si AN)

c)
daca triunghiul ABC este isoscel adica AB=AC atunci din congruenta triunghiurilor  de la punctul a) avem:
AB=CN=AC ⇒ AC=CN