Question

In triunghiul ABC , M este mijlocul laturii (BC) . Pe laturile (AC) si (BC) se considera punctele N , respectiv E , astfel incat NE este paralel cu AM . Fie NE intersectat cu AB = {P} . Demonstrati ca : AN / AP = AC / AB . (adica raportul AN supra AP este egal cu AC supra AB) .

Answer 1

M este mijlocul lui BC. Atunci CM=BM(1)
NE paralel cu AM, inseamna ca triunghiurile CNE si AMC sunt triunghiuri asemenea cu toate unghiurile egale(unghiul comun $\angle{NCE}=\angle{ACB}$ si unghiurile egale alterne interne pentru secanta AC $\angle{ENC}=\angle{MAC}$ si secanta BC $\angle{NEC}=\angle{AMC}$ )
Triunghiurile fiind asemenea, inseamna ca laturile opuse unghiurilor egale sunt direct proportionale, adica
$\frac{CN}{AC}=\frac{CE}{CM}\Rightarrow \frac{AC-AN}{AC}=1-\frac{AN}{AC}=\frac{CM-ME}{CM}=1-\frac{ME}{CM}\Rightarrow \frac{AN}{AC}=\frac{ME}{CM}$(2)

AM este paralela cu PE, deci triunghiurile AMB si BPE vor fi asemenea
cu toate unghiurile egale(unghiul comun $\angle{PBE}=\angle{ABM}$ si unghiurile egale alterne interne pentru secanta AB $\angle{BPE}=\angle{BAM}$ si secanta BC $\angle{PEC}=\angle{AMB}$ )
Atunci laturile opuse unghiurilor egale sunt proportionale, adica
$\frac{BP}{AB}=\frac{BE}{BM}\Rightarrow \frac{AB+AP}{AB}=1+\frac{AP}{AB}=\frac{BM+ME}{BM}=1+\frac{ME}{BM}\Rightarrow \frac{AP}{AB}=\frac{ME}{BM}$(3)
Dar stim din relatia 1 ca BM=CM
$\frac{AP}{AB}=\frac{ME}{CM}$ ne uitam si la relatia 2 si ajungem la relatia
$\frac{AN}{AC}=\frac{AP}{AB}\Rightarrow AN*AB=AP*AC\Rightarrow \frac{AN}{AP}=\frac{AC}{AB}$