Question

in triunghiul abc masura unghiului A este de 105 grade ,masura unghiului C este de 45 grade iar ad perpendicular cu bc, d apartine lui bc.a)lungimea laturii BC,b)aria triunghiului abc,c)perimetrul triunghiului abc

Answer 1

Ne uitam la triunghiul dreptunghic ADC. Stim ca un unghi este de 45 grade
$\angle{ACB}=\angle{ACD}=45$ Cum unghiul D este de 90 de grade, atunci putem afla marimea celui d-al treilea unghi
$\angle{ACD}+\angle{ADC}+\angle{DAC}=180\Rightarrow \angle{DAC}=180-\angle{ACB}-\angle{ADC}=180-90-45=45$
Deci avem doua unghiuri egale DAC si ACD de unde rezulta ca triunghiul dreptunghic este isoscel cu catetele egale AD=CD=12 si ipotenuza AC. Hai sa aflam cu teorema lui pitagora si ipotenuza AC
$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}=144+144=288\Rightarrow AC=12\sqrt{2}$
Daca stim unghiul BAC si ACB, putem afla si ultimul unghi din triunghiul ABC: anume unghiul ABC
$\angle{ABC}+\angle{BAC}+\angle{ACB}=180\Rightarrow \angle{ABC}=180-\angle{BAC}-\angle{ACB}=180-105-45=30$
Acum putem sa ne folosim de formula pentru sinus
$sin=\frac{cateta opusa}{ipotenuza}$ pentru a afla ipotenuza triunghiului dreptunghic ADB, adica AB
$\sin(ABC)=\sin{ABD}=\frac{AD}{AB}=\sin{30}=\frac{1}{2}\Rightarrow AB=2*AD=24$
stim o cateta si ipotenuza, cu teorema lui Pitagora putem calcula cealata cateta BD
$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}\Rightarrow BD^{2}=AB^{2}-AD^{2}=24^{2}-12^{2}=576-144=432\Rightarrow BD=12\sqrt{3}$
Acum stim ce lungime are BC
$BC=BD+DC=12\sqrt{3}+12=12(\sqrt{3}+1)$
b) Aria unui triunghi este baza * inaltimea supra doi
$A_{ABC}=\frac{b*h}{2}=\frac{AD*BC}{2}=\frac{12*12*(\sqrt{3}+1)}{2}=72(\sqrt{3}+1)$
c)$P_{ABC}=AB+AC+BC=24+12(\sqrt{3}+1)+12\sqrt{2}=12(2+1+\sqrt{3}+\sqrt{2})=12(3+\sqrt{3}+\sqrt{2})$