Question

În triunghiul ABC măsura unghiului ABC=30 de grade, mediana AM=6 cm, iar înălțimea AD egal 3√3 cm, D aparține lui CM. a) Calculati aria si perimetrul triunghiului ABC
b) Determinati natura si aria triunghiului ACM
PLEASE! OFER COROANA!

Answer 1

cu T∡30° ⇒ AB=6√3
cu pitagora in ABD rezulta BD=9
cu pitagora in AMD rezulta MD=3
BM=BD-MD=9-3=6
BC=2BM=12
aria ABC=BC*AD/2=12*3√3/2=18√3
DC=MC-MD=6-3=3
cu pitagora in ADC rezulta AC=6
perimetru ABC=AB+BC+AC=6√3+12+6=6(3+√3)
in tr. AMC:
AM=AC=6
MC=MD+DC=3+3=6
in concluzie tr. AMC este echilateral
aria AMC=AB^2*√3/4=36√3/4=9√3 (formula ariei tr. echi. funtie de latura)
mai simplu aria AMC=aria ABC/2 (AMC si ABM sunt echivalente) care da acelasi rezultat

Answer 2

In triunghiul ABD dreptunghic in D, AB este ipotenuza si m(<ABD)=30°, deci din teorema unghiului de 30°, AD = AB/2
$AB=2AD=2\cdot3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
$AD^2+BD^2=AB^2$
$(3\sqrt{3})^2+BD^2=(6\sqrt{3})^2$
$27+BD^2=108$
$BD^2=81$
$BD=9~cm$
Din teorema inaltimii
$AD=\sqrt{BD\cdot CD}$
$3\sqrt{3}=\sqrt{9CD}$
$9CD=27$
$CD=3~cm$
$BC=9+3=12~cm$
In triunghiul ACD dreptunghic in D, cu AC ipotenuza, m(<CAD)=30°, deci CD=AC/2
$AC=2CD=2\cdot3=6~cm$
$a)~P_{\triangle ABC}=AB+BC+AC=6\sqrt{3}+12+6=6\sqrt{3}+18$

b) Stim ca AC = 6 cm si AM = 6 cm
CM = MB = BC/2 = 12/2 = 6 cm
$P_{\triangle ACM}=3\cdot6=18~cm$