Question

In triunghiul DEF, cu [DE]=[DF] si masura unghiului D = 120 grade notam cu M mijlocul laturii[DE] si cu N simetricul punctului M fata de dreapta EF. Aratati ca: a) triunghiul DNE este dreptunghic b) triunghiul DNF este dreptunghic

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

ΔDEF, isoscel, DE=DF, ∡D=120°, ⇒ EF baza ΔDEF, ⇒∡DEF=∡DFE=(180°-∡D):2=(180°-120°):2, ⇒30°. M mijlocul DE, ⇒DM=ME. N=Sim(EF)M, ⇒MN⊥EF, Fie MN∩EF=A, ⇒MA=NA. Atunci, ΔMAE≡ΔNEA după crit. C.C.

În ΔEMA, ∡MEA=30°, ⇒∡EMA=60°, MA=(1/2)·ME. DAr MA=NA, ⇒ΔMEN este echilateral, deci ∡MEN=60°. Dar MN=ME=DM, ⇒ΔDMN isoscel cu baza DN. ∡DMN=180°-∡EMN=180°-60°=120°. Deci ∡MDN=∡MND=(180°-120):2=30°. Deci, în ΔDNE, ∡DEN=60°, ∡MDN=30°, ⇒∡DNE=180°- ∡DEN-∡MDN=90°. Atunci, ΔDNE este dreptunghic.

b) Știm că ∡EDF=120°, ∡EDN=30°, ⇒∡NDF=120°-30°=90°. Atunci Δ DNF este dreptunghic.