Question

In triunghiul Dreptunghic ABC,a=90,AB:AC=3:4,AD E ÎNĂLȚIME SI =24,D€(BC)
Calculați perimetrul si aria triunghiului

Answer 1

$\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}\Rightarrow AB=\frac{3AC}{4}$
Ne putem folosi de relatia lui Pitagora pentru a calcula ipotenuza BC in functie de cateta AC
$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=\frac{9AC^{2}}{16}+AC^{2}=\frac{9AC^{2}+16AC^{2}}{16}=\frac{25AC^{2}}{16}\Rightarrow BC=\frac{5AC}{4}$
Aria generala a unui triunghi este
$A_{\Delta}=\frac{Inaltime*baza}{2}$
In cazul nostru
$A_{ABC}=\frac{AD*BC}{2}$
Dar fiind un triunghi dreptunghic, poate fi scrisa si ca produsul catetelor/2
$A_{ABC}=\frac{AB*AC}{2}$
Atunci ajungem la relatia
$\frac{AD*BC}{2}=\frac{AB*AC}{2}\Rightarrow \frac{AD*5AC}{4}=\frac{3AC*AC}{4}\Rightarrow 5AD=3AC\Rightarrow AC=\frac{5}{3}AD=\frac{5*24}{3}=40$
De aici se scot si celelalte 2 laturi ale triunghiului dreptunghic
$AB=\frac{3}{4}*AC=\frac{3*40}{4}=3*10=30$
$BC=\frac{5}{4}*AC=\frac{4*40}{4}=5*10=50$
Atunci perimetrul va fi
$P_{ABC}=AB+AC+BC=30+40+50=120$
si aria
$A_{ABC}=\frac{AD*BC}{2}=\frac{24*50}{2}=12*50=600$