Question

In triunghiul dreptunghic ABC,cu m(A)=90 grade,m(C)=30 grade si AC=18 cm,se construieste AD perpendicular pe BC,D apartine BC si bisectoarea BE a
unghiului ABC,unde E apartine AC.
Calculati:
a) aria si perimetrul triunghiului ABC
b) lungimea segmentelor AD si BE

Answer 1

ΔDCA dreptunghic in D este de tipul (30°-60°-90°); [AD] fiind cateta opusa unghiului de 30° are lungimea de AC/2=18/2=9cm iar [DC] fiind cateta opusa unghiului de 60° are lungimea de AC√3/2=18√3/2=9√3cm. Aplicand prima Teorema a inaltimii in ΔABC⇒ AD²=BD·DC⇒9²=BD·9√3 ... ⇒BD=3√3cm⇒   
BC=BD+DC⇒BC=3√3+9√3⇒BC=12√3cm. ΔABC dreptunghic in A este de tipul (30°-60°-90°)⇒ AB=BC/2⇒AB=12√3/2⇒AB=6√3cm.AriaΔABC=(AB·AC)/2⇒ AriaΔABC=(6√3·18)/2=54√3cm².Perimetrul    ΔABC notat   PΔABC=AB+BC+AC⇒ PΔABC=6√3+12√3+18=18√3+18=18(√3+1)cm.     
BE fiind bisectoarea ∡ABC⇒ m∡ABE=60°/2=30°⇒ΔABE dreptunghic in A este de tipul (30°-60°-90°)⇒AB=BE√3/2⇒ 6√3=BE√3/2 |:√3⇒BE=12cm.