Question

In triunghiul mnp mq perpendicular pe nq, q apartine np, mq=12 cm, nq =6cm si np =30. Aflati masura unghiului nmp. Multumesc anticipat

Answer 1

prima varianta cu reciproca teoremei inaltimii
problema e ca nu am auzit sa se aplice aceasta teorema in caz ca exista ....dar macar , asa ca idee, m-a ajutat sa imi dau seam ca e dreptunghic
 deci ne considerand 'Reciproca Teoremei Inaltimii" ca o teorie riguroasa , in lipsa carei  ar fi trebuit sa o demonstrez
am folosit informatia ca  triunghiul e dreptunghic

 Dar am lucrat clasic si riguros de aceasta data, afland lungimile  laturilor necunoscute si aplicand Reciproca Teoremei lui Pitagora
care se oputea aplica si fara a verifica teorema inaltimii sau reciproca ei, in caz ca aceasta exista

Answer 2

În manualul de clasa a VII-a, editura Teora, autori Dana Radu, Eugen Radu,

la capitolul "Relații metrice în triunghiul dreptunghic", avem

reciproca teoremei înălțimii.

Ipoteză: ABC -triunghi, AD ⊥ BC,  D∈ BC,   AD² = BD·DC

Concluzia:  m(∡BAC) = 90°

În cazul problemei date , rezultă :

NQ = 6cm, QP = 30 - 6 = 24 cm

NQ · QP = 6·24 = 144 =12² =MQ²

Așadar, avem :

MNP - triunghi, MQ ⊥ NP,  Q ∈ NP,  MQ² = NQ · QP

Din reciproca teoremei înălțimii ⇒ m(∡NMP)  = 90°

---------------------------------------------------------------------

Problema poate fi abordată și cu ajutorul funcțiilor trigonometrice.

tgN = 12/6 = 2

ctgP = 24/12 = 2

Dar ctgx = tg(90° -x).

Prin urmare, unghiurile N și P sunt complementare, deci  m(∡NMP)  = 90°
___________________________________________________________

O altă abordare, folosind asemănarea triunghiurilor   QPM  și QMN, conduce la

m(∡QPM) = m(∡QMN) 

m(∡QMP) = m(∡QNM)

Aplicăm suma măsurilor unghiurilor triunghiului MNP și rezultă m(∡NMP)  = 90°.