Question

In trunchiul de piramida patrulater regulata ABCDA'B'C'D' se cunosc : AB=12cm,A'B'=6cm si apotema trunchiului de 4 cm. Calculati:
a) muchia laterala a trunchiului;
b)inaltimea trunchiului;
c)aria sectiunii ACC'A'

Answer 1

Fie AC∩BD={O}, A'C'∩B'D'={O'}, M∈BC si M'∈B'C', a.i. BM≡MC si B'M'≡M'C', rezultand MM'=apotema trunchiului=4 cm.
Fie N∈OM, a.i. M'N||OO'. In ΔMM'N dreptunghic, cunoastem MN=OM-ON=OM-O'M'=6-3=3 cm. si MM'=4 cm., deci  putem afla M'N cu teorema lui Pitagora: M'N^2 = MM'^2 - MN^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7, rezulta M'N=√7. Dar M'N||OO' si M'N≡OO', rezulta inaltimea OO'=√7 cm.

Fie P∈OB, a.i. B'P||OO'. Diagonala AC≡BD=12√2 cm. si diagonala A'C'≡B'D'=6√2 cm. In ΔBB'P dreptunghic cunoastem BP=OB-OP=OB-O'B'=6√2 - 3√2 = 3√2 cm. si B'P≡OO'=√7 cm., deci putem afla muchia BB' cu teorema lui Pitagora: BB'^2 = BP^2 + B'P^2 = (3√2)^2 + (√7)^2 = 18+7=25, de unde BB'=√25 = 5 cm.

Sectiunea ACC'A' reprezinta un trapez isoscel, unde AA'≡CC', AC||A'C', AC=12√2 cm., A'C'=6√2 cm. si inaltimea OO'=√7 cm. Rezulta ca aria trapezului ACC'A' = (B+b)*h ÷ 2 = (AC+A'C')*OO' ÷ 2 = (12√2 + 6√2)*√7 ÷ 2 = 18√2 * √7 ÷ 2 = 9√14 cm.^2