Question

Înălțimile BD (D€AC) şi CE (E€AB) ale unui triunghi isoscel ABC, cu AB = AC, se intersectează în punctul H. Se notează cu F simetricul punctului H față de BC. Patrulaterele BCDE, AEHD şi ABFC sunt inscriptibile în C(O1, R1), (02, R2) și C(O3, R3). Dacă AB = AC = 5 cm și BC = 6 cm, determinați lungimea razei pentru fiecare din cele trei cercuri.​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

notăm AF ∩ BC = {M}, M ∈ BC

ΔABC isoscel => H este ortocentru

AM înălțime => AM mediană

BM = ½•BC => BM = 3 cm

T.P. în ΔABM: AM² = AB² - BM² => AM = 4 cm

ΔBEC dreptunghic => BC este diametru în cercul C(O1, R1)

$R_{1} = BM \implies \boxed{ R_{1} = 3 \: cm}$

$cos(\angle B) = \frac{BM}{AB} = \frac{BE}{BC} \\ \iff \frac{3}{5} = \frac{BE}{6} \implies BE = \frac{18}{5} \: cm \\ AE = AB - BE = 5 - \frac{18}{5} \\ \implies AE = \frac{7}{5} \: cm$

ΔAEH dreptunghic => AH este diametru în cercul C(O2, R2)

$cos(\angle BAM) = \frac{AM}{AB} = \frac{AE}{AH} \\ \iff \frac{4}{5} = \frac{ \frac{7}{5} }{AH} \implies AH = \frac{7}{4} \: cm$

$R_{2} = \frac{AH}{2} \implies \boxed{R_{2} = \frac{7}{8} \: cm}$

$HM = AM - AH = 4 - \frac{7}{4} \implies HM = \frac{9}{4} \: cm \\ HM ≡ MF \implies MF = \frac{9}{4} \: cm \\ AF = AM + MF = 4 + \frac{9}{4} \implies AF = \frac{25}{4} \: cm$

BM² = AM×MF => ΔABF dreptunghic => AF este diametru în cercul C(O3, R3)

$R_{3} = \frac{AF}{2} \implies \boxed {R_{3} = \frac{25}{8} \: cm}$