Question

_=indice
Se da multimea A_n={x=k+5/k+1 | k<=n,unde k,n apartin N}
a) Să se arate că A_99 are 100 de elemente.
b) Să se determine elementele mulţimii A_99 ∩N .

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Se da multimea A_n={x=k+5/k+1 | k<=n,unde k,n apartin N}

a) pentru n=99, iar k<=n,unde k,n apartin N, ⇒ k∈{0,1,2,...,99}, pentru fiecare k, se calculează x=k+5/k+1, deci numărul de termeni a mulțimii A_99 va fi  99-0+1=100.

b) A_99 ∩N este submulțimea elementelor naturale ale lui A_99.

Să determinăm pentru ce valori ale lui k, x este natural.

(k+1)|(k+5)

(k+1)|(k+1), atunci (k+1) va divide și diferența lor, deci (k+1)|(k+5-k-1), ⇒(k+1)|4, deci k+1 ∈{1,2,4} |-1, ⇒ k∈{0,1,3}. Calculăm elementele mulțimii A_99 ∩N,

pentru k=0, ⇒ x=(0+5)/(0+1)=5,

pentru k=1, ⇒ x=(1+5)/(1+1)=3,

pentru k=3, ⇒ x=(3+5)/(3+1)=2,  

Deci, A_99 ∩N={2,3,5}.