Question

integrala de la 0 la 1 din x/(1+x) si sa imi explicati si metoda

Answer 1

$\int\limits^1_0 {\frac{x}{(1+x)}} \, dx$

Adunăm un 1 la numărător şi-l scădem:

$\frac{x}{(1+x)} = \frac{x+1-1}{x+1}$

$=\frac{x+1}{x+1} - \frac{1}{x+1} = 1- \frac{1}{x+1}$

Integrala va fi:

$\int\limits^1_0 {(1- \frac{1}{x+1})} \, dx = \int\limits^1_0 {1} \,dx - \int\limits^1_0 { \frac{1}{x+1}} \,dx$

$\int\limits^1_0 {1} \, dx= x|^{1}_{0} = 1-0=1$

Pentru a doua integrală este formula cu logaritm natural...

$\int\limits^1_0 { \frac{1}{x+1}} = ln (x+1) |^{1}_{0} = ln 2 - ln1 = ln 2$


Dacă uiţi formula, poţi face prin metoda schimbării de variabilă, notându-l pe x+1=t <=> dx = dt 

$\int\limits^1_0 { \frac{1}{x+1}} \,dx = \int\limits^1_0 { \frac{1}{t}} \,dt = ln \ t |^{0}_{1}$ 

Îl înlocuieşti pe t cu x+1 şi se ajunge la acelaşi lucru.