Question

integrala de la -1 la 1 din x(e^(x^2)-x)/(1+x^2)

Answer 1

Fie I integrala definita data, I este egala cu
$\int\limits^{1}_{-1} { \frac{x(e^ x^{2}-x) }{1+ x^{2} } } \, dx = \int\limits^1_{-1} \frac{xe^ x^{2} }{1+ x^{2} }\,dx - \int\limits^1_{-1} { \frac{x^2}{1+x^2} } \, dx$

Prima integrala este 0 (zero) deoarece este integrala de la -a la a dintr-o functie impara

Asadar I este egala cu

$- \int\limits^1_{-1} { \frac{x^2}{1+x^2} } \, dx = - \int\limits^1_{-1} {(1- \frac{1}{1+x^2}) } \, dx = -x I_{-1} ^1+arctgx I_{-1}^1= -2+ \frac{ \pi }{2}$