integrala din (x+1)^2/(x^2+1)
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Pentru a calcula integrala din (x+1)^2/(x^2+1), trebuie sa o rezolvam prin metoda partialelor. In acest caz, putem scrie (x+1)^2/(x^2+1) sub forma:
(x+1)^2/(x^2+1) = [(x+1)(x+1)] / (x^2 + 1)
= (x+1)(x+1) / (x^2 + 1)
= (x+1)(x+1) / [(x+1)(x-1)]
= (x+1)/(x-1)
Deoarece aceasta expresie este de forma (a + b) / (c + d), putem folosi metoda partialelor pentru a o rezolva. In acest caz, vom avea:
(x+1)/(x-1) = A(x-1) + B(x+1)
= (A + B)x - (A - B)
Pentru a determina constantele A si B, trebuie sa aplicam conditiile de continuitate si derivabilitate. Astfel, vom avea:
(x+1)/(x-1) = A(x-1) + B(x+1)
= (A + B)x - (A - B)
= (A + B) - (A - B) = 2B
Cand x = 1, avem:
(1 + 1) / (1 - 1) = 2
= (A + B) - (A - B) = 2B
= 2B = 2
=> B = 1
De asemenea, cand x = -1, avem:
(-1 + 1) / (-1 - 1) = 0
= (A + B) - (A - B) = 2B
= (A - B) = 2
=> A - B = 2
Substituind valoarea lui B, avem:
A - 1 = 2
=> A = 3
Prin urmare, constantele A si B sunt egale cu 3 si 1, respectiv. In final, integrala din (x+1)^2/(x^2+1) poate fi scrisa sub forma:
(x+1)^2/(x^2+1) = (3x + x) - (3 - x) = 2x + 3
Deci, integrala din (x+1)^2/(x^2+1) este 2x + 3.