Question

Integrala din (x*lgx)dx = ?

Answer 1

∫x*ln(x)dx se face prin părți. Conform regulii LIATE, substitui cu u respectiv v elementele cel mai ușor de derivat respectiv de integrat. 

În integrala de mai sus, avem x respectiv ln(x) . Derivarea lui x este 1, o derivare ușoară, nu? Ei bine, dacă îl substituim pe x cu u și îl derivăm, asta ar însemna că pe ln(x) îl substituim cu v și îl integrăm. ∫ln(x)dx nu este cea mai bună opțiune, de aceea mereu se evită integrarea logaritmului. 
Dacă îl substituim pe ln(x) cu u și îl derivăm obținem 1/x și dacă îl substituim pe x cu v și îl integrăm, obținem x²/2.

Apoi dupa ce ai aflat u și v, le înlocuiești în formula de mai jos:
 
∫udv = u*v - ∫vdu

Unde inlocuiesti cu:

u = ln(x)
dv = v'dx = xdx
du = u'dx = 1/x dx
v = ∫xdx = x²/2

Obținem următoarea integrală

∫ln(x)*x dx= ln(x) * x²/2 - ∫ x²/2 *1/x dx

Simplificam pe x² cu x si obtinem 
ln(x) * x²/2 - ∫ x/2 dx

x/2 se poate scrie ca și 1/2 * x astfel
ln(x) * x²/2 - ∫1/2 *x dx

1/2 este o constantă și astfel iese în fața integralei
ln(x) * x²/2 - 1/2 ∫x dx

∫x = x²/2 deci scriem
ln(x) * x2/2 - 1/2*x²/2

Simplificăm expresia și obținem ca rezultat final
(ln(x)*x2)/2 -x²/4 + C

Sper că am fost de folos!