Question

Intr-un trapez isoscel , diagonala este perpendiculara pe latura neparalela , iar inaltimea trapezului este egala cu 12$\sqrt{3}$ . Stiind ca baza mica este egala cu latura neparalela a trapezului , calculat :
a) Perimetrul trapezukui
b) Aria trapezului
C) Lungimile diagonalelor trapezului

Answer 1

Atentie!
Nu analiza rezolvarea fara sa faci desenul.

Notatii:
Varfurile trapezului: ABCD  
AD II BC
AD > BC
AB si CD laturi neparalele
AB = BC = CD
BE = Inaltimea trapezului = 12√3 cm,   E ∈ AD
Diagonala BD _I_ AB  (latura neparalela)
ΔABD  dreptunghic in B
BE = Inaltimea triunghiului = Inaltimea trapezului = 

Inscriem trapezul isoscel, intr-un cerc
Baza mare  AD este si ipotenuza in triunghiul dreptunghic ΔABD.
=> AD este diametrul cercului. 
O este centrul cercului care se gaseste pe AD  
OA = OD = R  (raza cercului)
Unim pe O cu B si cu C
Deoarece AB = BC = CD =>
<AOB = <BOC = <COD = 180 / 3 = 60°
OA = OB = OC = OD = R
=> ΔAOB si ΔBOC si ΔCOD sunt triunghiuri isoscele avand
fiecare unghiul de la varf = 60°
Un triunghi isoscel care are un unghi de 60° este un triunghi echilateral.
=> ΔAOB ≡ ΔBOC ≡ ΔCOD sunt echilaterale si congruente.
=> AB = BC = CD = R
AE = R / 2 = AB / 2
Aplicam Pitagora in ΔABE
BE² + (R/2)² =R²
R² - R² / 4 = (12√3)²
3 * R² / 4 = 144 * 3
 R² / 4 = 144
R² = 144 * 4
R² = 576
R = √576 
R = 24 cm

AD = 2R = 2 * 24 = 48 cm
BC = R = 24 cm

a) Perimetrul trapezuzui
P = AD + AB + BC + CD = 2R + R + R + R = 5R = 5 * 24 = 120 cm
 
b) Aria trapezului
A = (AD + BC)×BE / 2 = (2R + R) × 12√2 / 2 = 3 × R × 12√2 / 2 =
= 3 × 24 × 12√3 / 2 = 864√3 / 2 = 432√3 cm²  

c) Lungimile diagonalelor trapezului
Diagonalele trapezului isoscel sunt egale.
Diagonala BD este cateta in ΔABD in care:
 Cateta AB = 24 cm si ipotenuza AD = 48cm
Aplicam Pitagora

BD = √(AD² - AB²)
BD = √(48² - 24²) 
BD = √(2304 - 576)
BD = √1728
BD = √(576 × 3)
BD = 24√3 cm