Question

intr-un triunghi ABC se considera mediana[BD], M (DBC)= 90 grade, BD = radical din 3 supra 4 din AB. Sa se determine m(ABD).

Answer 1

Presupun ca relatia este
$BD=\frac{\sqrt{3}}{4}AB$
Stim ca o mediana imparte triunghiul in 2 triunghiuri de arii egale
$A_{BCD}=A_{ABD}$
Aria lui ABD poate fi scrisa ca
$A_{ABD}=\frac{AB*BD*\sin{ABD}}{2}$
BCD este un triunghi dreptunghic cu unghiul $\angle{DBC}=90$ atunci aria lui BCD poate fi scrisa ca produsul catetelor pe 2

$A_{BCD}=\frac{BD*BC}{2}$
Acum putem egala cele doua arii
$\frac{BD*BC}{2}=\frac{AB*BD*\sin{ABD}}{2}\Rightarrow BC=AB*\sin{ABD}\Rightarrow BC^{2}=AB^{2}*\sin^{2}{ABD}$
Acum aplicam teorema consinusului pentru unghiul ABD in triunghiul ABD
$\cos{ABD}=\frac{BD^{2}+AB^{2}-AD^{2}}{2BD*AB}\Rightarrow AD^{2}=BD^{2}+AB^{2}-2BD*AB*\cos{ABD}$
Dar stim ca BD este mediana, D este mijlocul lui AC, atunci
$AD=CD$
CD este ipotenuza triunghiului dreptunghic BCD deci avem
$CD^{2}=BC^{2}+BD^{2}\Rightarrow BC^{2}=CD^{2}-BD^{2}=AD^{2}-BD^{2}=BD^{2}+AB^{2}-2BD*AB*\cos{ABD}-BD^{2}=AB^{2}-2BD*AB*\cos{ABD}$
Acum egalam cele doua forme de scriere ale lui BC^2
$BC^{2}=AB^{2}\sin^{2}{ABD}=AB^{2}-2*\frac{\sqrt{3}}{4}AB*AB*\cos{ABD}=AB^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}AB^{2}\cos{ABD}\Rightarrow \sin^{2}{ABD}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{ABD}$
Din ecuatia fundamentala a trigonometriei stim ca
$\sin^{2}{ABD}+\cos^{2}{ABD}=1\Rightarrow \sin^{2}{ABD}=1-\cos^{2}{ABD}$ atunci
$1-\cos^{2}{ABD}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{ABD}\Rightarrow \cos^{2}{ABD}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{ABD}\Rightarrow \cos{ABD}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \angle{ABD}=30$