Question

Într-un triunghi isoscel ABC, AB=AC, BC=60 cm, AD_|_BC, D apartine (BC) si DE_|_AB, E apartine (AB), DE=24.Stiind ca P apartine (AD) astfel incat PD=PF, unde PF_|_AC, F apartine (AC), calculati:
a) perimetrul triunghiului ABC
b) lungimea segmentului PD
c) sinusul unghiului PCB

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a) Deoarece AD este inaltime pe baza, atunci AD este si mediana, deci BD=(1/2)·BC=30cm. ΔABD~ΔDBE, ⇒AB/DB=AD/DE, ⇒AB/30=AD/24, ⇒AB/AD=30/24=5/4. Fie AD=x, ⇒AB=(5/4)·x.

Din ΔABD, ⇒AB²-AD²=BD², ⇒[(5/4)x]²-x²=30² |·4², ⇒25x²-16x²=30²·4², ⇒9x²=30²·4², ⇒x²=(30²·4²)/9=4²·10², ⇒x=40=AD. Deci AB=(5/4)·40=50cm

Atunci P(ΔABC)=2·AB+BC=2·50+60=160cm.

b) PD=PF. ΔACD~ΔAPF, ⇒AC/AP=CD/PF, ⇒50/AP=30/PF.

Fie PF=y, atunci AP=40-y, ⇒50/(40-y)=30/y, ⇒50y=30(40-y), ⇒50y=1200-30y, ⇒80y=1200, ⇒y=1200:80=15=PF=PD.

c) sin(∡PCB)=sin(∡PCD)=PD/PC. Din ΔPCD, PC²=PD²+CD²=15²+30²=15²+15²·2²=15²·(1+4)=15²·5, deci PC=15√5

Atunci, sin(∡PCD)=PD/PC=15/(15√5)=1/√5=√5/ 5.