Question

Justifică de ce numărul scris a=1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+...1×2×3...×10 nu poate fi pătratul unui număr natural.

Answer 1

Salut,

Hai să aflăm ultima cifră a numărului "a". Notăm cu UC ultima cifră.

UC(1) = 1;

UC(1×2) = 2;

UC(1×2×3) = 6;

UC(1×2×3×4) = UC(24) = 4;

UC(1×2×3×4×5) = 0 (pentru că avem un 2 și un 5, înmulțiți);

UC(1×2×3×4×5×6) = 0 (pentru că avem un 2 și un 5, înmulțiți);

UC(1×2×3×4×5×6×7) = 0 (pentru că avem un 2 și un 5, înmulțiți);

UC(1×2×3×4×5×6×7×8) = 0 (pentru că avem un 2 și un 5, înmulțiți);

UC(1×2×3×4×5×6×7×8×9) = 0 (pentru că avem un 2 și un 5, înmulțiți);

UC(1×2×3×4×5×6×7×8×9×10) = 0 (pentru că avem un 2 și un 5, înmulțiți).

Deci pentru întregul număr "a", UC este: UC(1+2+6+4+6*0) = UC(13)=3.

Ultima cifră a lui "a" este deci 3.

Știm că ultima cifră a unui pătrat perfect este 0, 1, 4, 5, 6 și 9. Cu alte cuvinte, dacă un număr are ca ultimă cifră pe 2, pe 3, pe 7, sau pe 8, atunci acel număr nu este pătrat perfect.

Cum ultima cifră a lui "a" este 3, rezultă imediat că "a" nu este pătrat perfect, ceea ce trebuia demonstrat.

Green eyes.