Question

log in baza 2 din (a+b)-1>=1/2(log in baza 2 din a+log in baza 2 din b)

Answer 1

Răspuns:

Formule logaritmi

㏒ₓ ab = ㏒ₓ a + ㏒ₓ b

㏒ₓ  aⁿ = n ㏒ₓ a

Explicație pas cu pas:

㏒₂ [ (a+b) - 1]  ≥  1/2 [ ㏒₂ a + ㏒₂ b]

㏒₂ [ (a+b) - 1]  ≥  1/2 [ ㏒₂  ab ]

㏒₂ [ (a+b) - 1]  ≥  ㏒₂  (ab) ¹/²                         (ab) la puterea 1/2

㏒₂ [ (a+b) - 1]  ≥  ㏒₂ √ab

Punem conditia de existenta pentru logaritmi:

(a+b) - 1 > 0

(a+b) > 1

si

ab > 0

Se rezolva inecuatia data:

(a+b) - 1    ≥    √ab

[ (a+b) - 1 ]²  ≥  ( √ab )²

[ (a+b) - 1 ]²  ≥  ab

(a+b)² - 2(a+b) + 1  - ab ≥ 0

a² + 2ab + b² - 2a -2b +1 - ab ≥ 0

a² + ab + b² - 2a -2b +1 ≥ 0

Avem din conditia logaritmica    

ab > 0

1 > 0             Adevarat

a² + b² > 0    Adevarat

Ramane de demonstrat ca :

- 2a -2b ≥ 0

-2 (a+b) ≥ 0

(a+b) > 1   din conditia logaritmica