Question

Ma ajuta si pe mine cnva va rog?

Answer 1

a) a=8, b=-3
a²-7b²=64-7*(-3)²=64-63=1
deci 8-3√7∈M



b) (a+b√7)(c+d√7)= ac+7cd+(ad+bc)√7
(ac+7cd)²-7((ad+bc)√7)²= 1??=a²c²+14abcd+49c²d²-49(a²d²+2abcd+b²c²) greu

aici imi e greu sa demonstrez proprietatea ca =1

(ac+7cd)²-7²(ad+bc)² tot greu
 si atuuuunci.....

vom proceda la un izomorfism cu determinanti matricilor (de asta i-a spus grupului M, nu G, aici era indicatia!!!) de forma

(a   b√7)
(b√7  a)  este matricea asociata numerelor noastre
si
|a   b√7|
|b√7 a|     estedeterminantul ei acest determinant este a²-7b²=1 prin definitie, adica exact propietatea  ceruta
deci daca asociem fiecarui numar a+b√7 un astfel dedeterminat
 inmultirea a 2 numere o putem asocia cu  inmultirea a doua matrici

(a  b√7)        (c    d√7)  = (ac+7bd    (ad+bc)√7 )
(b√7  a)   x    (d√7  c)       (ad+bc)√7  ac+7bd)

adica exact martricea asociata  numarului care rezulta de la punctul a)
(a+b√7)(c+d√7)= ac+7cd+(ad+bc)√7
iar diferenta ceruta va fi excact determinatul noii matrici


 idar  det (AxB)=detA detB =1*1=1
deci si elementul rezultat va avea proprietatea ca diferenta 
(ac+7cd)²-7((ad+bc)√7)²=1 . deci va apartinelui M


c)pe baza punctului b) x*y∈M deci si atunci (M,*) lege de compozitie interna

  i)asociativitatea : pe baza asociativitatii inmultirii numerelor reale, in care numerele dev tip a+b√7 sunt incluse

ii) elemen neutru 
exista 1+0*√7 cu a=1, b=0. a²-7b²=1-0=1 deci 1+0*√7 ∈M, asa fel incat  ∀x∈M x*1=1*x=x

iii) element invers
fie a+b√7 cu conditia a²+b²≠0
(a+b√7)8(a'+b'√7)=1=1+0√7
a'+b'√7=1/(a+b√7)=(a-b√7)/(a²-7b²)=a-b√7
 identificand partile rationala si irationala aflam
 a'=a
b'=-b
care estede forma a+ (-b)√7 si are si proprietatea a²-7(-b)²=a²-7b²=1
deci exista element invers pt ∀x≠0+0√7 e normal ca elementul neutru la adubnare sa nu aibe invers la inmultire


iiii) comutativitatea ...din comuntativitatea inmultirii numerelor reale, in care numerele de forma a+b√7 sunt incluse


din i) , ii), iii) si iiii) rezulta M , grup comutativ
el a cerut doar grup, dar e comutativ