Question

Ma poate ajuta cineva ? 1.Determinati coordonatele mijloacelor laturilor triunghiului ABC, cunoscand A(1,9) B(-3,-1) si C(4,5). 2. Fie A(0,1) si B(4,1). Aflati coordonatele punctului C cu proprietatea ca triunghiul ABC este echilateral.

Answer 1

1) M-mijlocul lui [BC]   ,  P-mijlocul lui [AB]  N-mijlocul lui [AC]  -> xM= xB+xC/2   yM= yB+yC /2  ->M(-3+4/2  ,  -1+5 /2 ) ->M(1/2 , 2)      N(xA+xC/2   , yA+yC/2) -> N(1+4/2   , 9+5/2) -> N(5/2  , 7)  P(xA+xB/2   , yA+yB/2) -> P(1-3/2  , 9-1/2 ) -> P(-1,4).     2) Fiindca e echilateral punem conditia ca : AB=AC=BC  C(x,y).  Acum calculam lungimile.. AB=$\sqrt{(4-0) ^{2} + (1-1)^{2} } = \sqrt{16}$ = 4  AC=$\sqrt{(X-0)^{2}+(Y-1)^{2}} = \sqrt{ x^{2} + (Y-1)^{2} }$    BC= $\sqrt{(X-4)^{2}+(Y-1)^{2}}$  Acum facem sistem. $\left \{ {{AB=AC \atop {AB=BC}} \right.$ $\left \{ {{4= \sqrt{ x^{2} +(Y-1)^{2}} } \atop \ {4= \sqrt{(x-4)^{2}+(y-1)^{2}$   Acum. luam si rezolvam AC=BC ->  $\sqrt{ x^{2} +(y-1)^{2}} = \sqrt{(x-4)^{2}+(y-1)^{2}$ | ridicam la patrat. -> $x^{2}$ + $y^{2}$ -2y +1 = $x^{2}$ -8x+16  + $y^{2}$ -2y +1 |reducem termenii...  astfel o sa ramana doar ->  1 = -8x+16+1 ->  8x=16 -> X=2.   Am aflat prima necunoscuta care reprezinta coordonatul x.  Acum luam AB=AC -> 4 = $\sqrt{ x^{2} +(y-1) ^{2} }$ | ridicam la patrat  ->>>>> 16 = $x^{2}$ + $y^{2}$ -2y +1  -> $x^{2} + y^{2}$ -2y =16-1   -> $x^{2} + y^{2}$ -2y =15  -> stiim ca x =2 -> vom inlocui x-ul cu 2. ->>> $2 ^{2}$  + $y^{2}$ -2y  = 15 ---> $y^{2}$ - 2y = 15-4  ->>>>>> $y^{2}$ -2y =11 ->>>> $y^{2}$ -2y -11 = 0 . Aceasta este o ecuatie de gradul 2. deci vom folosi formulele acesteia.  Δ = b²-4ac.   √ = 4+44 , Δ =48  y1,2 = $y1= \frac{-b+4 \sqrt{3} }{2a}$ y2=$\frac{-b-4 \sqrt{3} }{2a}$    y1 = $\frac{2+4 \sqrt{3} }{2 }$    si y2 = $\frac{2-4 \sqrt{3} }{2}$  y1 = 1+ 2√3  si y2 = 1 - 2√3 Deci C are 2 solutii si anume : C1(2, 1+2√3) si C2(2,  1 -2√3)