Question

Ma poate ajuta cineva cu integrala asta? Se poate face si fara polinoame sau trebuie neapărat?

Answer 1

Răspuns:

Se descompune fracția în fracții simple:

$\displaystyle\frac{2x^3+9x^2+17x+12}{(x^2+3x+3)^2}=\frac{Ax+B}{(x^2+3x+3)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+3x+3}$

Aducând în dreapta la același numitor, făcând calculele și egalând numărătorii se obține

$2x^3+9x^2+17x+12=Cx^3+(3C+D)x^2+(A+3D+3C)x+B+3D$

Rezultă

$C=2\\3C+D=9\\A+3C+3D=17\\B+3D=12$

de unde

$A=2, \ B=3, \ C=2, \ D=3$

Atunci integrala devine

$\displaystyle\int\frac{2x+3}{(x^2+3x+3)^2}dx+\int\frac{2x+3}{x^2+3x+3}dx=-\frac{1}{x^2+3x+3}+\ln(x^2+3x+3)+C$

Explicație pas cu pas: