Question

Ma poate ajuta cineva la acest exercitiu ?

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Buna seara! La b) nu prea sunt sigur de modul de argumentare, dar să așteptăm poate vine cineva cu ceva mai rațional... Succese!

Answer 2

Explicație pas cu pas:

Avem legea de compozitie:

$x*y=x+y+xy$

a) Daca o lege de compozitie este asociativa, atunci are loc relatia:

$(x*y)*z=x*(y*z)$

Pentru orice x,y,z din multimea pe care este definita legea.

Deoarece

$x*y=x+y+xy\\(x*y)*z=x+y+xy+z+(x+y+xy)z=x+y+xy+z+zx+zy+xyz$

De asemenea:

$y*z=y+z+zy\\x*(y*z)=x+y+z+zy+x(y+z+zy)=z+y+yz+xy+xz+xyz$

Avem aceleasi expresii pentru x*(y*z) si (x*y)*z, prin urmare, legea este asociativa.

b) Avem:

$1*\frac{1}{2}=1+\frac{1}{2} + 2\cdot \frac{1}{2}=2\\2*\frac{1}{3}=2+\frac{1}{3} + 2\cdot \frac{1}{3}=3\\3*\frac{1}{4}=3+\frac{1}{4} + 3\cdot \frac{1}{4}=4$

Vom demonstra prin inductie ca:

$1*\frac{1}{2}*\frac{1}{3}...*\frac{1}{n}=n$

Pentru n=2 avem propozitia adevarata de mai sus.

Presupunem ca pentru orice k natural, avem:

$1*\frac{1}{2}*\frac{1}{3}...*\frac{1}{k}=k$

Calculam valoarea predicatului pentru k+1:

$1*\frac{1}{2}*\frac{1}{3}...*\frac{1}{k}*\frac{1}{k+1}=k+1$

Prin urmare avem:

$k*\frac{1}{k+1}=k+\frac{1}{k+1}+\frac{k}{k+1}=k+1$

Adevarat pentru orice valoare naturala a lui k.

Prin urmare:

$1*\frac{1}{2}*\frac{1}{3}...*\frac{1}{2008}=2008$.

Sper ca ai inteles tot.