Question

metoda dreptunghiului la matrice, cum se calculeaza?

Answer 1

Sa incercam atunci impreuna.
Plecam cu o matrice si vrem sa ii calculam inversa.
Propun sa plecam cu

3 5
1 2

Sa zicem ca vrem sa rezolvam in acelasi timp cele doua sisteme de ecuatii care corespund datelor:

3 5 | 1
1 2 | 0

si

3 5 | 0
1 2 | 1

Sistemele corespunzatoare sunt

3x + 5y = 1
x + 2y = 0 cu solutia evidenta x = 2 si y = -1

si

3x + 5y = 0
x + 2y = 1 cu solutia evidenta x = -5 si y = 3

Trebuie sa luam cazul acesta simplu ca sa vedem ca daca punem solutiile ca vectori,
+2
-1
pentru prima solutie si
-5
+3
pentru a doua si apoi "lipim" coloanele, dam de matricea inversa.
Acest lucru este motivat de "inmultirea in blocuri a matricilor".

Bun, deci schema pe care trebuie sa o intelegem este schema / eliminarea Gauss totala, plecam de la

3 5 | 1 0
1 2 | 0 1

si incercam sa ajungem prin eliminari succesive la ceva de forma

1 0 | ? ?
0 1 | ? ?

(cu matricea identiate pe stanga liniei despartitoare).

Ca sa nu mai scriem de zece ori acelasi lucru, imbinam deci la un loc de mai multe ori micii pasi de eliminare.

Sa incercam sa eliminam asadar.

3 5 | 1 0
1 2 | 0 1

1 este pivot. Linia pivotului ramane, restul se schimba.
3 -> 0 (in coloana pivotului se face liniste.)
In prima linie altfel:
5 -> 5 - 3.2/1 = -1
1 -> 1 - 3.0/1 = 1
0 -> 0 - 3.1/1 = -3 .
Dam de

0 -1 | 1 -3
1 +2 | 0 +1

Prima linie se inmulteste cu -1.
(Ecuatia 0x +(-1)y = 1 resp. -3 devine (-0)x+(+1)y = -1 resp. 3.)

0 1 | -1 3
1 2 | +0 1 (semnele pentru aliniere doar)

Eliminam si 2-ul folosind 1-ul din prima linie.
Primalinie sta pe loc, a doua se schimba.
1 sta pe loc (sub 0)
2 -> 0 sub pivot, facem operatia 2 -> 2 - 2.1/1 daca luam strict lucrurile.
+0 -> +0 - 2.(-1)/1
1 -> 1 - 2.3/1

Dam de

0 1 | -1 3
1 0 | 2 -5 (semnele pentru aliniere doar)

Prima ecuatie este 0x +1y = -1 resp 3
A doua ecuatie este 1x +0y = -1 resp 3

Schimbam ecuatiile intre ele

1 0 | 2 -5
0 1 | -1 3

In momentul in care in partea stanga avem matricea identitate, pe dreapta e inversa.

Daca mai sunt intrebari, cu incredere...