Question

modul din z-2 =2 si parte intreaga din 1 supra modul din z-3 =1 se cere modul din z ?

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Fie z=a+bi un numar complex, cu a partea reala si b partea imaginara.

Calculam |z-2|.

|z-2|=|a+bi-2|=|a-2+bi|=√((a-2)²+b²).

Avem o prima relatie:

√((a-2)²+b²)=2 |²

(a-2)²+b²=4

Calculam 1/|z-3|.

|z-3|=√((a-3)²+b²)

1/|z-3|=1/√((a-3)²+b²)

Stim ca partea intreaga a lui 1/|z-3| este 1, dar partea intreaga a lui 1/a este 1 daca a=1 sau 0 daca a>1. Deci, avem:

[1/√((a-3)²+b²)]=1

√((a-3)²+b²)=1 |²

(a-3)²+b²=1

Si formam un sistem din cele doua relatii:

{ (a-2)²+b²=4

{ (a-3)²+b²=1

Scoatem pe b² din prima relatie: b²=4-(a-2)² si il introducem in a doua ecuatie si avem:

(a-3)²+4-(a-2)²=1

a²-6a+9+4-a²-4a-4=1

-10a=1-9

-10a=-8

a=8/10=4/5

Deci, b²=4-(4/5 -2)²=4-(-6/5)²=4-36/25=64/25.

b∈{-8/5,8/5}.

Avem doua numere complexe cu aceasta propietate:

z1=4/5+8i/5

z2=4/5-8i/5 (conjugatul numarului complex z1)

|z1|=|z2|=√[(4/5)²+(8/5)²]=√[(16+64)/25]=√80   /5=4√5   /5