Question

mulțimea numerelor naturale nenule este împărțită în grupe astfel(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),....a) scrieți următoarele trei grupe. b) determinați suma numerelor din a 20-a grupă. c) câte grupe se pot forma cu primele 2016 numere naturale nenule?

Answer 1

a) (11,12,13,14,15), (16,17,18,19,20,21), (22,23,24,25,26,27,28)

b) Prima grupa se termina cu suma Gauss pana la 1
A doua se termina cu suma Gauss pana la 2
A treia se termina cu suma Gauss pana la 3
...
A 20-a se termina cu suma Gauss pana la 20
1+2+...+20 = 20*21:2 = 10*21 = 210
A 20-a se termina cu 210, deci incepe cu 210-19=191
Este (191,192,...,210)
S = 191+192+...+210 = (1+2+...+210) - (1+2+...+190) = 210*211:2 - 190*191:2 = 105*211 - 95*191 = 22155 - 18145 = 4010

c) Prima este formata dintr-un nr
A doua are 2 numere
...
A n-a are n numere
Grupe pana la 2016 sunt atatea cate nr are ultima
Zicem ca ultima grupa este a n-a si are n numere, atunci ultimul nr din grupa este suma Gauss pana la n
Presupunem ca ultimul nr este 2016, atunci exista n € N pentru care
1+2+...+n = 2016
n*(n+1):2 = 2016
n*(n+1) = 4032
n^2 + n = 4032
Cel mai mare patrat perfect mai mic decat 4032 este 3969=63^2
Incercam n=63
3969+63=4032 adevarat
n=63
Se pot forma 63 de grupe intregi, a 64-a il contine pe 2016