Question

Nr naturale 17n+12 si 21n+8 , cu n€ N* , dau resturile 23 respectiv 17 prin impartirea lor la 40 si respectiv 50 . Aflati ultimele 2 cifre ale nr natural n. AJUTOR!!!! VA ROGGGGG!!!!!!!

Answer 1

Teorema impartirii cu rest spune ca daca impartim un numar a la b si obtinem catul c si restul r atunci
$a=b*c+r$
Folosind teorema impartirii cu rest, obtinem urmatoarele relatii
$21n+8=50p+17\Rightarrow 21n=50p+9$
$17n+12=40m+23\Rightarrow 17n=40m+11$
unde m si n sunt caturile impartirilor si sunt numere naturale.
 Ultima cifra a produsului a doua numere este data de produsul ultimelor cifre a celor 2 numere
Deci daca avem
$a*b=produs$ atunci
$ultima_cifra(a)*ultima_cifra(b)=ultima_cifra(produs)$
Ne uitam la prima relatie
In partea dreapta a egalitatii, ultima cifra va fi 9: ultima cifra a lui 50p este 0, pentru ca este multiplu de 10, atunci vom avea ultima_cifra(50p)+9=0+9=9
Avem atunci
$ultima_cifra(21)*ultima_cifra(n)=9\Rightarrow 1*ultima_cifra(n)=9$ si in mod evident rezulta ca ultima cifra a lui n trebuie sa fie 9
Pentru a doua relatie, din nou, 40m se termina in 0, ultima cifra a lui 11 este 1, atunci ultima_cifra(40m)+ultima_cifra(11)=0+1=1
Atunci avem
$ultima_cifra(17)*ultima_cifra(n)=7*ultima_cifra(n)=1$
Ultima cifra care inmultita cu 7 sa dea un nr care se termina in 1 este 3
3*7=21
deci ultima_cifra(n)=3. Dar deja am spus din cealata relatie ca ultima cifra a lui n trebuie sa fie 9, ultima cifra nu poate fi 9 si 3 in acelasi timp, rezulta ca nu exista un astfel de n.