Question

Numărul natural n, cu 60 < n < 360, împărțit pe rând la 8, 12 și 18 dă câturile nenule și resturile egale cu 3, 7, respectiv 13.
a) Este posibil ca numărul 211 să fie soluție a problemei date? Justifică răspunsul.
b) Determină valoarea maximă a lui n.​

Answer 1

Răspuns:

a) Pentru a verifica dacă numărul 211 este o soluție a problemei, îl împărțim la 8, 12 și 18:

211 / 8 = 26 cu restul 3

211 / 12 = 17 cu restul 7

211 / 18 = 11 cu restul 13

Toate aceste operații dau resturile 3, 7, respectiv 13, deci numărul 211 este o soluție posibilă a problemei.

b) Pentru a determina valoarea maximă a lui n, începem prin a înțelege care este cel mai mare număr natural care poate fi împărțit la 8, 12 și 18 și care are resturile 3, 7 și 13.

Dacă împărțim numerele mai mari la 8, 12 și 18, acestea vor avea resturile mai mari decât 3, 7 și 13. Deci, dacă numărul are resturile 3, 7 și 13, atunci acesta este cel mai mare număr care poate fi împărțit la 8, 12 și 18.

Acum trebuie să aflăm care este cel mai mare număr care are resturile 3, 7 și 13 după împărțirea la 8, 12 și 18.

O cifră poate lua valori între 0 și 9 după împărțirea la 8, 12 și 18. Astfel, dacă avem trei cifre, valoarea maximă pe care o poate lua numărul este 987.

Însă, dacă împărțim 987 la 8, 12 și 18, obținem resturile 3, 7 și 2, respectiv. Deci, valoarea maximă a lui n este 987 - 2 - 1 = 984.

Rezultat: Valoarea maximă a lui n este 984.

Answer 2

Explicație pas cu pas:

$n = 8 \cdot c_{1} + 3 \ \Big| +5 \iff n + 5 = 8 \cdot c_{1} + 8 \\ \implies n + 5 = 8 \cdot (c_{1} + 1)$

$n = 12 \cdot c_{2} + 7 \ \Big| +5 \iff n + 5 = 12 \cdot c_{2} + 12 \\ \implies n + 5 = 12 \cdot (c_{2} + 1)$

$n = 18 \cdot c_{3} + 13 \ \Big| +5 \iff n + 5 = 18 \cdot c_{3} + 18 \\ \implies n + 5 = 18 \cdot (c_{3} + 1)$

8 = 2³

12 = 2²×3

18 = 2×3²

[8;12;18] = 2³×3² = 72

(n + 5) este multiplu nenul al lui 72

a) DA

deoarece n + 5 = 211 + 5 = 216 = 72×3

b)

60 < n < 360 <=> 65 < n + 5 < 365

72×5 = 360 < 365 < 432 = 72×6

=> n + 5 = 360 => n = 355