Question

Numerele naturale m si n sunt prime ıntre ele. Demonstrati ca exista k ∈ N ∗ astfel ıncat n | m^k − 1.

Answer 1

(m,n) = 1

Avem doua cazuri : 1) n = par ; 2) n = impar

1) n = par => n = 2
    Presupun ca m = impar, atunci 2|impar^k - 1 => 2|impar - 1 => 2|par (A)
    Presupunem ca m = par = 2, atunci 2|2^k - 1 ; Singura solutie este ca k = 0 (F). Atunci avem 2|par - 1 => 2|impar(F)

2) n = impar
    n|m^k - 1 => m^k - 1 = multiplu de n
    Daca m = impar => m^k = impar => m^k - 1 = par => m^k este un multiplu de n + 1. Atunci putem avea orice valoare n si orice valoare m = n + 1 astfel incat m^k = (n+1)^k => k = 1.
    Daca m = par = 2 => n|2^k - 1. Aici, vom avea 2^k = multiplu de n + 1.
Valorile pentru care relatia n|m^k - 1 sunt : k = 4a + 1, 4a + 2, 4a + 3, a = nr.nat. astfel incat n|2^k - 1. 

 Nu sunt foarte sigur de solutie...